Sur L'anneau De Grothendieck De La Categorie Des Modules Instables
Title:
Sur L'anneau De Grothendieck De La Categorie Des Modules Instables
Author:
Schwartz, Lionel
Appeared in:
Communications in algebra
Paging:
Volume 34 (2006) nr. 5 pages 1825-1845
Year:
2006-06-01
Contents:
Dans cet article on calcule l'anneau de Grothendieck G0(U) de la categorie U des modules instables sur l'algebre de Steenrod. On calcule aussi l'anneau G0(U/Nil) de la categorie UNil, qui est le quotient de U par la sous-categorie des modules instables nilpotents. Les resultats principaux montrent que la serie de Poincare, ou un substitut adequat dans le cas de la categorie quotient, determinent ces anneaux. Plus precisement la serie de Poincare determine un homorphisme canonique de l'anneau de Grothendieck de la categorie des modules instables de type fini vers l'anneau des series formelles en une variable. On montre que cet homomorphisme est injectif et on caracterise les series formelles representant un element de l'image. Pour ce qui est de la categorie quotient on remplace la serie formelle par une fonction de N dans Z qui en est une version stabilisee: a la classe d'un module instable M dans U/Nil on associe la fonction de N dans N qui sur un entier n est egale a la dimension de M2qn pour un entier q assez grand. Si le module est reduit, ce que l'on peut supposer, et de type fini cette quantite est bien definie. Cette fonction se comporte comme un caractere. Le probleme de la categorie quotient, a deja ete aborde par N. Kuhn dans du point de vue de la “theorie des representations generiques” des groupes lineaires. Il y donne une description de l'anneau de Grothendieck G0(F) de la categorie des foncteurs de la categorie des espaces vectoriels de dimension finie sur le corps F2 dans la la categorie des espaces vectoriels sur F2. Son resultat vaut en fait pour tout corps fini. Il decrit cet anneau comme un certain λ-anneau universel. Kuhn n'aborde pas le premier probleme. Pour relier son resultat a celui de cet article, il faut utiliser un theoreme de H. W. Henn, J. Lannes et l'auteur qui montre qu'il y a une equivalence entre la categorie des foncteurs analytiques Fω et la categorie quotient evoquee plus haut. Dans cet article on s'est place dans un cadre un peu different, a savoir dans le prolongement des travaux de V. Franjou et de l'auteur reliant la theorie des representations des groupes symetriques et celle des modules instables. Cette methode permet de faire l'economie du theoreme de Henn, Lannes et l'auteur, ce qui n'est pas en soi une vertu. Cependant le theoreme de ne restitue pas a partir du resultat de Kuhn, sauf travail supplementaire, le resultat concernant les series de Poincare. Le travail qui reste a faire est alors essentiellement celui qui est fait dans cet article. C'est d'abord pour cette raison, qu'au prix de quelques pages supplementaires, on a prefere suivre. De plus, il est plus naturel quand on veut travailler directement sur les modules instables d'exploiter les relations avec la theorie des representations des groupes symetriques; alors que si on travaille dans la categorie des foncteurs il est plus naturel d'exploiter celles avec la theorie des representations des groupes lineaires. L'objet de l'article est donc d'identifier, a partir d'un module instable, les donnees purement combinatoire permettant de determiner sa classe dans l'anneau de Grothendieck. Ces donnees restent masquees dans la description en terme de λ-anneau evoquee plus haut, qui de ce fait reste un peu formelle. Si les resultats sont etablis ici sur le corps F2, ils 'etendent sans difficultes particulieres (sauf au prix de notations un tout petit peu plus lourdes) a tout corps fini. Cet exercice amusant est laisse au lecteur.
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